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设F(X)在[0,1]连续可导,且F(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
设F(X)在[0,1]连续可导,且F(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
admin
2017-08-31
45
问题
设F(X)在[0,1]连续可导,且F(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f
’
(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
因为f
’
(x)在区间[0,1]上连续,所以f
’
(x)在区间[0,1]上取到最大值M和最小值m,对f(x)一f(0)=f
’
(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f
’
(c)xdx, 由m≤f
’
(c)≤M得m∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f
’
(c)xdx<M∫
0
1
xdx, 即m≤2∫
0
1
f
’
(c)xdx≤M或m≤2∫
0
1
f(x)dx≤M, 由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f
’
(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YQr4777K
0
考研数学一
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