2. 考研
  3. 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y｜x2+y2－xy=≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75－x2－y2+xy。 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y｜x2+y2－xy=≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75－x2－y2+xy。 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说

admin2018-12-27  25
问题 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y｜x2+y2－xy=≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75－x2－y2+xy。
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界曲线x2+y2－xy=75上找出使上题中的g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
选项
答案求g(x，y)在条件x2+y2－xy－75=0下的最大值点与求g2(x，y)=(y－2x)2+(x－2y)2=5x2+5y2=8xy在条件x2+y2－xy－75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x2+5y2－8xy+λ(x2+y2－xy－75)， 则有 [*] 联立(1)，(2)解得y=－x，λ=－6或y=x，λ=－2。 若y=－x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，[*] 若y=x，则由(3)式得x2=75，即[*] 于是得可能的条件极值点 [*] 现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2—8xy在这些点的函数值，有 f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点。
解析
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考研数学一

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