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[2008年] 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量.向量a 3满足Aα3=α2+α3.(1)证明α1,α2,α3线性无关;(2)令P=[α1,α2,α3],求P-1AP.
[2008年] 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量.向量a 3满足Aα3=α2+α3.(1)证明α1,α2,α3线性无关;(2)令P=[α1,α2,α3],求P-1AP.
admin
2019-05-10
696
问题
[2008年] 设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值一1,1的特征向量.向量a 3满足Aα
3
=α
2
+α
3
.(1)证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;(2)令P=[α
1
,α
2
,α
3
],求P
-1
AP.
选项
答案
(1)用反证法产生与α
1
,α
2
线性无关的矛盾证之.(2)注意到Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
可写成α
1
,α
2
,α
3
的线性组合.由命题2.1.2.3知,可将矩阵[Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]改写成矩阵[α
1
,α
2
,α
3
]与另一数字矩阵的乘积,利用前者的可逆性即可求得P
-1
AP. (1)用反证法证明.如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,因α
1
,α
2
属于A的不同特征值的特征向量,故线性无关.于是α
3
可由α
1
,α
2
线性表出.设α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
,则 Aα
3
=α
2
+α
3
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
=(1+l
2
)α
2
+l
1
α
1
. 又 Aα
3
=A(l
1
α
1
+l
2
α
2
)=l
1
Aα
1
+l
2
Aα
2
=一l
1
α
1
+l
2
α
2
, 故 l
1
α
1
+(1+l
2
)α
2
=一l
1
α
1
+l
2
α
2
, 即 2l
1
α
1
+α
2
=0, 所以α
1
,α
2
线性相关,与题设α
1
,α
2
线性无关,矛盾.于是α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (2)因Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
,故Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合, 由命题2.1.2.3得到 A=[α
1
,α
2
,α
3
]=[Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]=[一α
1
,α
2
,α
3
+α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
][*] 即AP=P[*],又由(1)知,P可逆,故P
-1
AP=[*].
解析
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考研数学二
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