设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

admin2018-04-08 74

问题设三阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2。α₁=(1，一1，1)^T是A的属于特征值λ₁的一个特征向量，记B=A⁵－4A³+E，其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B。

选项

答案(Ⅰ)由Aα₁=α₁得 A²α₁=Aα₁=α₁，进一步 A³α₁=α₁，A⁵α₁=α₁，故 Bα₁=(A⁵－4A³+E)α₁=A⁵α₁—4A。α₁+α₁=α₁－4α₁+α₁=－2α₁，从而α₁是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。由B=A⁵－4A³+E及A的三个特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，得B的三个特征值为μ₁=－2，μ₂=1，μ₃=1。设α₂，α₃为B的属于μ₂=μ₃=1的两个线性无关的特征向量，又A为对称矩阵，得B也是对称矩阵，因此α₁与α₂，α₃正交，即α₁^Tα₂=0，α₁^Tα₃=0。所以α₂，α₃可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解(1，－1，1)[*]=0，其基础解系为 [*] 即B的全部特征值的特征向量为： [*] 其中k₁是不为零的任意常数，k₂，k₃是不同时为零的任意常数。 (Ⅱ)令P=(α₁，α₂，α₃)= [*] 得 [*]

解析

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考研数学一

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设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

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