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  3. 已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4，线性无关，α1＝2α2－α3，如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Ax＝β的通解．

已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4，线性无关，α1＝2α2－α3，如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Ax＝β的通解．

admin2014-01-26  41
问题 已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4，线性无关，α1＝2α2－α3，如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Ax＝β的通解．
选项
答案[详解1] 令[*]，则由Ax＝(α1，α2，α3，α4)[*]，得 x1α1＋x2α2＋x3α3＋x4α4＝α1＋α2＋α3＋α4， 将α1＝2α2－α3代入上式，整理后得 (2x1＋x2—3)α2＋(－x1＋x3)α3＋(x4－1)α4＝0． 由α2，α3，α4线性无关，知 [*] 解此方程组得 [*]，其中走为任意常数． [详解2] 由α2，α3，α4线性无关和α1＝2α2－α3＋0α4，知A的秩为3，因此Ax＝0的基础解系中只包含一个向量． 由 α1－2α2＋α3＋0α4＝0， 知[*]为齐次线性方程组Ax＝0的一个解，所以其通解为 [*]，k为任意常数． 再由β＝α1＋α2＋α3＋α4＝(α1，α2，α3，α4)[*]， 知[*]为非齐次线性方程组Ax＝β的一个特解，于是Ax＝β的通解为 [*]，其中k为任意常数．
解析 [分析]  本题不知方程组Ax＝β的具体形式，可通过已知将A，β代入后，再根据α2，α3，α4线性无关，确定未知量x应满足的等式，即方程组，再求解之；或直接根据通解结构，先找出对应齐次线性方程组的通解(基础解系)以及Ax＝β的一个特解即可，而α1＝2α2－α3相当于告诉了Ax＝0的一个非零解，β＝α1＋α2＋α3＋α4相当于告诉了Ax＝β的一个特解．
[评注]  从本题可以看出，一组向量组之间的线性组合，相当于已知对应齐次线性方程组的一个解；而一个向量用一组向量线性表示则相当于已知对应非齐次线性方程组的一个特解．向量与线性方程组之间的这种对应关系是值得注意的．
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考研数学二

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