设z＝f(x，y)满足＝4xy，且fx(x，0)＝1，f(0，y)＝2y， (Ⅰ)求f(x，y)； (Ⅱ)设D＝{(x，y)｜x≤x2＋y2≤2x}，求f(x，y)dxdy．

admin2021-03-18 15

问题设z＝f(x，y)满足

＝4xy，且f_x(x，0)＝1，f(0，y)＝2y，
(Ⅰ)求f(x，y)；
(Ⅱ)设D＝{(x，y)｜x≤x²＋y²≤2x}，求

f(x，y)dxdy．

选项

答案(Ⅰ)由[*]得[*] 由f_x(x，0)＝1得[*](x)＝1，即[*] 由[*] 得f(x，y)＝x²y²＋x＋h(y)，由f(0，y)＝2y得h(y)＝2y，故f(x，y)＝x²y²＋x＋2y． (Ⅱ)由对称性得I＝[*]f(x，y)dxdy＝[*](x²y²＋x)dx dy，令[*]，则 I＝[*](x²y²＋x)dxdy＝[*](r⁵cos²θsin²θ＋r²cosθ)dr [*]

解析

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