设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是

admin2017-04-24 56

问题设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．

答案A

解析若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在一组不全为零的常数k₁，k₂，…，k_s，使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0
两端左乘矩阵A，得
k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0
因k₁，k₂，…，k_s，不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
用排除法
若A=0为零矩阵，则组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s均为零向量，从而组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，于是选项(B)、(D)均不对，若A=

，则α₁，α₂线性无关，且Aα₁=α₁与Aα₂=α₂线性无关，故选项(C)也不对，所以只有选项(A)正确．

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