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[2016年] 设函数f(x,y)满足=(2x+1)e2x-y,且f(0,y)=y+1,Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线,计算曲线积分,并求I(t)的最小值.[img][/img]
[2016年] 设函数f(x,y)满足=(2x+1)e2x-y,且f(0,y)=y+1,Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线,计算曲线积分,并求I(t)的最小值.[img][/img]
admin
2019-05-16
76
问题
[2016年] 设函数f(x,y)满足
=(2x+1)e
2x-y
,且f(0,y)=y+1,L
t
是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线,计算曲线积分
,并求I(t)的最小值.[img][/img]
选项
答案
在[*]=(2x+1)e
2x-y
两边对x积分,得到 f(x,y)=∫(2x+1)e
2x-y
dx=[*]=xe
2x-y
+φ(y). 又因f(0,y)=φ(y)=y+1,故f(x,y)=xe
2x-y
+y+1,从而[*]=一xe
2x-y
+1,故 I(t)=∫
L
t
(2x+1)e
2x-y
dx+(1-xe
2x-y
)dy=∫
L
t
P(x,y)dx+Q(x,y)dy. 因[*],故曲线积分与路径无关.因而可选x轴上的直线段[0,1](y=0)与平行于y轴的直线段[0,t](x=1)为积分路径,得到 I(t)=∫
0
1
(2x+1)e
2x
dx(y=0)+∫
0
t
(1一e
2x-y
)dy(x=1) =∫
0
1
xde
2x
+∫
0
1
e
2x
dx+∫
0
t
dy+e
2
∫
0
t
e
-y
d(一y) =xe
2x
|
0
1
—∫
0
1
e
2x
dx+∫
0
1
e
2x
dx+t+e
2
(e
-t
一1) =e
2
+t+e
2
·e
-t
一e
2
=t+e
2-t
则I’(t)=1一e
2-t
.令I’(t)=0,得到t=2. 而I’’(t)|
t=2
=一e
2-t
|
t=2
=一e
2-2
=1≥0,故当t=2时,I(t)取极小值,即最小值,其最小值为 I(t)|
t=2
=(t+e
2-t
)|
t=2
=3.
解析
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考研数学一
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