[2016年] 设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x-y，且f(0，y)=y+1，Lt是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分，并求I(t)的最小值．[img][/img]

admin2019-05-16 62

问题 [2016年] 设函数f(x，y)满足

=(2x+1)e^2x-y，且f(0，y)=y+1，L_t是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分

，并求I(t)的最小值．[img][/img]

选项

答案在[*]=(2x+1)e^2x-y两边对x积分，得到 f(x，y)=∫(2x+1)e^2x-ydx=[*]=xe^2x-y+φ(y)．又因f(0，y)=φ(y)=y+1，故f(x，y)=xe^2x-y+y+1，从而[*]=一xe^2x-y+1，故 I(t)=∫_{L_t}(2x+1)e^2x-ydx+(1-xe^2x-y)dy=∫_{L_t}P(x，y)dx+Q(x，y)dy. 因[*]，故曲线积分与路径无关．因而可选x轴上的直线段[0，1](y=0)与平行于y轴的直线段[0，t](x=1)为积分路径，得到 I(t)=∫₀¹(2x+1)e^2xdx(y=0)+∫₀^t(1一e^2x-y)dy(x=1) =∫₀¹xde^2x+∫₀¹e^2xdx+∫₀^tdy+e²∫₀^te^-yd(一y) =xe^2x｜₀¹—∫₀¹e^2xdx+∫₀¹e^2xdx+t+e²(e^-t一1) =e²+t+e²·e^-t一e²=t+e^2-t 则I’(t)=1一e^2-t．令I’(t)=0，得到t=2．而I’’(t)｜_t=2=一e^2-t｜_t=2=一e^2-2=1≥0，故当t=2时，I(t)取极小值，即最小值，其最小值为 I(t)｜_t=2=(t+e^2-t)｜_t=2=3．

解析

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[2016年] 设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x-y，且f(0，y)=y+1，Lt是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分，并求I(t)的最小值．[img][/img]

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