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设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f"(x)>0,证明:对于(a,b)内任意两点x1,x2及0≤t≤1,有f[(1一t)x1+tx2]<(1一t)f(x1)+ty(x2).
设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f"(x)>0,证明:对于(a,b)内任意两点x1,x2及0≤t≤1,有f[(1一t)x1+tx2]<(1一t)f(x1)+ty(x2).
admin
2020-05-02
29
问题
设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f"(x)>0,证明:对于(a,b)内任意两点x
1
,x
2
及0≤t≤1,有f[(1一t)x
1
+tx
2
]<(1一t)f(x
1
)+ty(x
2
).
选项
答案
方法一 设x
0
=(1-t)x
1
+tx
2
.f(x)在点x=x
0
处的一阶泰勒公式为 [*] 因为f"(x)>0,所以f(x)>f(x
0
)+f′(x
0
)(x-x
0
),故 f(x
1
)>f(x
0
)+f′(x
0
)(x
1
-x
0
),f(x
2
)>f(x
0
)+f′(x
0
)(x
2
-x
0
) 从而 (1-t)f(x
1
)+tf(x
2
) >(1-t)[f(x
0
)+f′(x
0
)(x
1
-x
0
)]+t[f(x
0
)+f′(x
0
)(x
2
-x
0
)] =(1-t)f(x
0
)+(1-t)f′(x
0
)(x
1
-x
0
)+tf(x
0
)+tf′(x
0
)(x
2
-x
0
) =f(x
0
)[(1-t)+t]+(1-t)tf′(x
0
)(x
1
-x
2
)+(1-t)tf’(x
0
)(x
2
-x
1
) =f(x
0
)=f[(1-t)x
1
+tx
2
] 因此 f[(1-t)x
1
+tx
2
]<(1-t)f(x
1
)+tf(x
2
) 方法二 设x
0
=(1-t)x
1
+tx
2
.于是由拉格朗日中值定理,得 f[(1-t)x
1
+tx
2
]-(1-t)f(x
1
)-tf(x
2
) =(1-t)f[(1-t)x
1
+tx
2
]-(1-t)f(x
1
)+tf[(1-t)x
1
+tx
2
]-tf(x
2
) =(1-t){f[(1-t)x
1
+tx
2
]-f(x
1
))+t{f[(1-t)x
1
+tx
2
]-f(x
2
)) =(1-t)tf′(ξ
1
)(x
2
-x
1
)+t(1-t)f′(ξ
2
)(x
1
-x
2
) =(1-t)t(x
2
-x
1
)[f′(ξ
1
)-f′(ξ
2
)] =(1-t)t(x
2
-x
1
)(ξ
1
-ξ
2
)f"(ξ) 不妨设x
1
<x
2
2,于是x
1
<ξ
1
<(1-t)x
1
+tx
2
<ξ<x
2
,所以x
2
>x
1
,ξ
2
>ξ
1
,再由f"(x)>0,可推知(1-t)t(x
2
-x
1
)(ξ
1
-ξ
2
)f"(ξ)<0.因此 f[(1-t)x
1
+tx
2
]<(1-t)f(x
1
)+tf(x
2
)
解析
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0
考研数学一
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