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  3. 证明：n阶矩阵相似．

证明：n阶矩阵相似．

admin2022-09-08  27
问题 证明：n阶矩阵相似．
选项
答案证明：记[*]。 因A是实对称矩阵，必与对角矩阵相似． 由| λE～A |=λn-nλn-1=0， 知A的特征值为n，0，0，…，0(，n-1个0)． 故[*] 又由| λE-B |=(λ-n)λn-1=0， 知B的特征值为n，0，0，…，0(n-1个0)． 当λ=0时，r(0E-B)=r(B)=1，那么，n-r(0E-B)=凡一1，即齐次方程组(0E-B)x=0有n-1个线性无关的解，亦即λ=0时矩阵B有n-1个线性无关的特征向量，从而矩阵B必与对角矩阵相似，即 [*] 从而A与B相似．
解析
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考研数学一

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