证明：n阶矩阵相似．

admin2022-09-08 39

问题证明：n阶矩阵

相似．

选项

答案证明：记[*]。因A是实对称矩阵，必与对角矩阵相似．由| λE～A |=λⁿ-nλ^n-1=0，知A的特征值为n，0，0，…，0(，n-1个0)．故[*] 又由| λE-B |=(λ-n)λ^n-1=0，知B的特征值为n，0，0，…，0(n-1个0)．当λ=0时，r(0E-B)=r(B)=1，那么，n-r(0E-B)=凡一1，即齐次方程组(0E-B)x=0有n-1个线性无关的解，亦即λ=0时矩阵B有n-1个线性无关的特征向量，从而矩阵B必与对角矩阵相似，即 [*] 从而A与B相似．

解析

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