设A，B为三阶矩阵，且AB＝A—B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．

admin2015-07-22 81

问题设A，B为三阶矩阵，且AB＝A—B，若λ₁，λ₂，λ₃为A的三个不同的特征值，证明：
存在可逆矩阵P，使得P^－1AP，P^－1BP同时为对角矩阵．

选项

答案因为A有三个不同的特征值λ₁，λ₂，λ₃，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ₁，ξ₂，ξ₃，则有A(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)diag(λ₁，λ₂，λ₃)， BA(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝B(ξ₁，ξ₂，ξ₃)diag(λ₁，λ₂，λ₃)， AB(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝B(ξ₁，ξ₂，ξ₃)diag(λ₁，λ₂，λ₃)，于是有 ABξ_i＝λ_iBξ_i，i＝1，2，3．若Bξ_i≠0，则Bξ_i是A的属于特征值λ_i的特征向量，又λ_i为单根，所以有Bξ_i＝μ_iξ_i；若Bξ_i＝0，则ξ_i是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξ_i是B的特征向量，因此，令P＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，则P^－1AP，P^－1BP同为对角阵．

解析

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考研数学一

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