如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M。 (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长。

admin2017-02-22 7

问题如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M。
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长。

选项

答案(1)连结OM，则OM⊥BC，过O作ON⊥CD于N。 ∵AC是正方形ABCD的对角线． ∴AC是∠BCD的平分线。 ∴OM=ON。即圆心O到CD的距离等于⊙O半径， ∴CD与⊙O相切。 (2)由(1)易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径， ∴OM=MC=1， ∴OC²=DM²+MC²=1+1=2． [*] 在Rt△ABC中，AB=BC，由AC²=AB²+BC²． ∴2AB²=AC²． [*]

解析

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如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M。 (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长。

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