“对任意的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有∣xn一a∣≤2ε”是数列{xn)收敛于a的( )．

admin2021-01-19 75

问题 “对任意的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有∣x_n一a∣≤2ε”是数列{x_n)收敛于a的( )．

选项 A、充分条件，但非必要条件
B、必要条件，但非充分条件
C、充分必要条件
D、既非充分条件，又非必要条件

答案C

解析将题中数列{x_n}收敛于a的条件与原定义中的条件相比较，看其是否等价．
仅(C)入选．将题中的条件与上述数列极限定义比较知，“对任意的ε∈(0，1)”与“对任给ε＞0”是相当的，而n≥N比定义中多了一个等号，显然由于定义中的N并不唯一，多一个等号也是可以的．事实上，若取N₀=N一1，则n＞N₀，即为n≥N．至于∣x_n一a∣≤2ε，这里既多了一个等号，还乘以2．但由于ε＞0是任给的，满足ε=ε₀／3的ε₀＞0仍然是任给的，这时就有
∣x_n一a∣≤2ε=(2／3)ε₀)＜ε₀．
这与∣x_n一a∣＜ε的原定义是等价的．综上所述，所给条件是数列{x_n}收敛于a的充要条件．

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考研数学二

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