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设f(χ)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(χ)>0,F(χ)=∫-22|χ-t|f(t)dt,求F(χ)在[-2,2]上的最小值点.
设f(χ)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(χ)>0,F(χ)=∫-22|χ-t|f(t)dt,求F(χ)在[-2,2]上的最小值点.
admin
2017-09-15
70
问题
设f(χ)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(χ)>0,F(χ)=∫
-2
2
|χ-t|f(t)dt,求F(χ)在[-2,2]上的最小值点.
选项
答案
F(χ)=∫
-2
2
|χ-t|f(t)dt=∫
-2
χ
(χ-t)f(t)dt+∫
χ
2
(χ-t)f(t)dt =χ∫
-2
χ
f(t)dt-∫
-2
χ
tf(t)dt-∫
2
χ
tf(t)dt+χ∫
2
χ
f(t)dt, F′(χ)=∫
-2
χ
f(t)dt+∫
2
χ
f(t)dt=∫
-2
0
f(t)dt+∫
0
χ
f(t)dt+∫
2
0
f(t)dt+∫
0
χ
f(t)dt, 因为∫
-2
0
f(t)dt=∫
0
2
f(t)dt,所以F′(χ)=2∫
0
χ
f(t)dt. 因为f(χ)>0,所以F′(χ)=0得χ=0, 又因为F〞(χ)=2f(χ),F〞(0)=2f(0)>0,所以χ=0为F(χ)在(-2,2)内唯一的极 小值点,也为最小值点.
解析
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考研数学二
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