已知三元二次型 XTAX＝x12＋ax22＋x32＋2x1x2＋2ax1x3＋2x2x3 的秩为2，则其规范形为＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2015-11-16 58

问题已知三元二次型
X^TAX＝x₁²＋ax₂²＋x₃²＋2x₁x₂＋2ax₁x₃＋2x₂x₃
的秩为2，则其规范形为＿＿＿＿＿＿＿＿。

选项

答案y₁²－y₃²

解析解因

，且r(A)＝2，故｜A｜＝0。易求得
｜A｜＝－(a＋2)(a－1)²。
于是由r(A)＝2知，a＝－2。由
｜λE－A｜＝λ(λ－3)(λ＋3)＝0
可知A的特征值为－3，0，3。在正交变换下该二次型的标准形为3y₁²－3y₃²，故其规范形为y₁²－y₃²。

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考研数学一

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