[2012年] 设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f＇(0)=( )．

admin2019-04-05 52

问题 [2012年] 设函数f(x)=(e^x一1)(e^2x一2)…(e^nx－n)，其中n为正整数，则f＇(0)=( )．

选项 A、(一1)^n-1(n一1)!
B、(一1)ⁿ(n—1)!
C、(－1)^n-1n!
D、(一1)ⁿn!

答案A

解析利用导数的定义判别，因为f(x)为多个因子相乘，且f(0)=0．
解一

=(一1)(一2)…(1一n)=(一1)(－2)…[一(n一1)]
=(一1)^n-1(n一1)!．  仅(A)入选．
解二  令g(x)=(e^2x一2)(e^3x一3)…(e^nx一n)，则
f(x)=(e^x一1)g(x)，f＇(x)=e^xg(x)+(e^x一1)g＇(x)，
f＇(0)=g(0)=(一1)(一2)(－3)…[－(n一1)]=(一1)^n-1(n一1)!
解三  用排错法确定正确选项．为此令n=2，则
f(x)=(e^x一1)(e^2x一2)，f＇(x)=e^x(e^2x一2)+2e^2x(e^x一1)，f＇(0)=1—2=一1．
因n=2时，(B)，(C)，(D)中的选项均为1，仅(A)入选．

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考研数学二

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