设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．

admin2017-08-31 31

问题设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．

选项

答案方法一因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得Q^TAQ=[*]，其中λ₁＞0，λ₂＞0，…，λ_n＞0，因此Q^T(A+E)Q=[*]，于是｜Q^T(A+E)Q｜=｜A+E｜=(λ₁+1)(λ₂+1)…(λ_n+1)＞1．方法二因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ₁＞0，λ₂＞0，…，λ_n＞0，因此A+E的特征值为λ₁+1＞1,λ₂+1＞1，…，λ_n+1＞1，故｜A＋E｜=(λ₁+1)(λ₂+1)…(λ_n+1)＞1．

解析

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考研数学一

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