2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：[∫01(x)dx]2≥∫01f3(x)dx．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：[∫01(x)dx]2≥∫01f3(x)dx．

admin2016-11-28  50
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：[∫01(x)dx]2≥∫01f3(x)dx．
选项
答案首先证明不等式[∫0x(t)dt]2≥∫0xf3(t)dt(0≤x≤1)．令F(x)=[∫0xf(t)dt]2一∫0xf3(t)dt，F’(x)=2∫0xf(t)dt.f(x)一f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt一f2(x)]，再令φ(x)=2∫0xf(t)dt一f2(x)则φ’(x)=2f(x)一2f(x)f’(x)=2f(x)[1一f’(x)]．因为f(0)=0，f’(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0．又0≤f’(x)≤1，于是φ’(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0，所以又有F’(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0，从而有[∫01f(x)dx]2≥∫01f2(x)dx．
解析
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