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设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量尼不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量尼不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有
admin
2017-04-24
85
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而向量尼不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对于任意常数k,必有
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关.
B、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关.
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关.
D、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关.
答案
A
解析
由已知,存在常数l
1
,l
2
,l
3
,使得
β
1
= l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
(*)
如果kβ
1
+β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则存在常数m
1
,m
2
,m
3
,使得
kβ
1
+β
2
=m
1
α
1
+m
2
α
2
+m
3
α
3
(**)
将(*)式代入(**)式,可得
β
2
=(m
1
一 kl
1
)α
1
+(m
2
一 kl
2
)α
2
+(m
3
一kl
1
)α
3
即β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,这与已知条件矛盾,故kβ
1
+β
2
必不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,再根据结论(可证明或引用定理):“若α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则向量β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示
α
1
,α
2
,α
3
,β线性无关”,便可推知α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关,因此,选项(A)正确.
利用解1的(*)式,可得 [α
1
,α
2
,α
3
kβ
1
+β
2
]=[α
1
,α
2
,α
3
β
2
]
因为α
1
,α
2
,α
3
β
2
线性无关,且上式最右端矩阵的秩为4,故向量组α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关,因此选项(A)正确.
注释 取k=0,立即可排除选项(B)、(C);取k=1,则问题归结为讨论α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+β
2
是否线性相关的问题,而α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故问题归结为β
1
+β
2
是否可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示的问题,若是,则马上推出矛盾.只要对线性相关性的概念、有关性质及判别法熟悉,则本题的结论是显然的.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ayt4777K
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