2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量尼不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量尼不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

admin2017-04-24  52
问题 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量尼不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有
选项 A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．
B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．
C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．
D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．
答案A
解析 由已知，存在常数l1，l2，l3，使得
β1= l1α1+l2α2+l3α3    (*)
如果kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，则存在常数m1，m2，m3，使得
kβ1+β2=m1α1+m2α2+m3α3    (**)
将(*)式代入(**)式，可得
β2=(m1一 kl1)α1+(m2一 kl2)α2+(m3一kl1)α3即β2可由α1，α2，α3线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ1+β2必不能由α1，α2，α3线性表示，再根据结论(可证明或引用定理)：“若α1，α2，α3线性无关，则向量β不能由α1，α2，α3线性表示α1，α2，α3，β线性无关”，便可推知α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，因此，选项(A)正确．
利用解1的(*)式，可得 [α1，α2，α3  kβ1+β2]=[α1，α2，α3  β2]
因为α1，α2，α3  β2线性无关，且上式最右端矩阵的秩为4，故向量组α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，因此选项(A)正确．
注释  取k=0，立即可排除选项(B)、(C)；取k=1，则问题归结为讨论α1，α2，α3，β1+β2是否线性相关的问题，而α1，α2，α3线性无关，故问题归结为β1+β2是否可由α1，α2，α3线性表示的问题，若是，则马上推出矛盾．只要对线性相关性的概念、有关性质及判别法熟悉，则本题的结论是显然的．
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考研数学二

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