2. 考研
  3. 设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=f(x)．

设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=f(x)．

admin2016-05-17  48
问题 设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=f(x)．
选项
答案由已知条件得y(0)=0，yˊ(0)=0， l1=∫0x[*]dx; P(x，y)处的切线为Y—y=yˊ(X—x)， 令X=0，则Y=y—xyˊ，A的坐标为(0，y—xyˊ)， l2=[*]， 由x(3l1+2)=2(x+1)l2得3∫0x[*]dx+2=2(x+1)[*]， 两边对x求导整理得1+yˊ2=2(x+1)yˊyˊˊ． 令yˊ=p，yˊˊ=[*]，代入得1+p2=2(x+1)p[*]， 变量分离得[*]， 积分得ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即1+P2=C1(x+1)， 由初始条件得C1=1，即p=±[*]，从而y=±[*]+C2， 再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲线为y2=[*]x3．
解析
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考研数学二

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