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给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|—|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N+. 是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|—|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N+. 是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
admin
2019-01-23
47
问题
给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|—|x+c|.数列a
1
,a
2
,a
3
,…满足a
n+1
=f(a
n
),n∈N
+
.
是否存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a
1
;若不存在,说明理由.
选项
答案
假设存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列. 则由(1)及c>0可得,a
n+1
>a
n
即{a
n
}为无穷递增数列. 又因为{a
n
}为等差数列,所以存在正数N,当n>N时,a
n
≥一c,此时a
n+1
=f(a
n
)=a
n
+c+8, 则公差d=c+8. ①当a
1
<—c一4时,a
2
=f(a
1
)=—a
1
一c一8, 又因为a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8,两式联立,得a
1
=一c一8,a
2
=0, 则当n≥2时,因为{a
n
}为无穷递增数列,故a
n
≥a
2
=0>一c, 即当n≥2时,a
n+1
—a
n
=f(a
n
)—a
n
=c+8成立,又a
2
一a
1
=c+8, 故{a
n
}为无穷等差数列,首项a
1
=一c一8,公差d=c+8; ②当—c一4≤a
1
<一c时,a
2
=f(a
1
)=3a
1
+3c+8, 又因为a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8,两式联立,得a
1
=一c,a
2
=8,应舍去; ③当a
1
≥一c时,因为a
n
≥a
1
,则在n∈N
+
时,均有a
n+1
一a
n
=f(a
n
)一a
n
=c+8,故{a
n
}为无穷等差数列. 综上所述,存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列,a
1
的取值范围为{一c一8}∪[一c,+∞).
解析
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