2. 公务员
  3. 给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+． 是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+． 是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

admin2019-01-23  30
问题 给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+．
是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
选项
答案假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列． 则由(1)及c＞0可得，an+1＞an即{an}为无穷递增数列． 又因为{an}为等差数列，所以存在正数N，当n＞N时，an≥一c，此时an+1=f(an)=an+c+8， 则公差d=c+8． ①当a1＜—c一4时，a2=f(a1)=—a1一c一8， 又因为a2=a1+d=a1+c+8，两式联立，得a1=一c一8，a2=0， 则当n≥2时，因为{an}为无穷递增数列，故an≥a2=0＞一c， 即当n≥2时，an+1—an=f(an)—an=c+8成立，又a2一a1=c+8， 故{an}为无穷等差数列，首项a1=一c一8，公差d=c+8； ②当—c一4≤a1＜一c时，a2=f(a1)=3a1+3c+8， 又因为a2=a1+d=a1+c+8，两式联立，得a1=一c，a2=8，应舍去； ③当a1≥一c时，因为an≥a1，则在n∈N+时，均有an+1一an=f(an)一an=c+8，故{an}为无穷等差数列． 综上所述，存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列，a1的取值范围为{一c一8}∪[一c，+∞)．
解析
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