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计算下列反常积分: (Ⅰ)∫1+∞ (Ⅱ)∫1+∞ (Ⅲ)∫0+∞ (Ⅳ)∫0a
计算下列反常积分: (Ⅰ)∫1+∞ (Ⅱ)∫1+∞ (Ⅲ)∫0+∞ (Ⅳ)∫0a
admin
2018-06-27
56
问题
计算下列反常积分:
(Ⅰ)∫
1
+∞
(Ⅱ)∫
1
+∞
(Ⅲ)∫
0
+∞
(Ⅳ)∫
0
a
选项
答案
(Ⅰ)这是一个无穷区间上的反常积分,可以通过求原函数的方法计算. ∫
1
+∞
[*]=∫
1
+∞
[*]=e
-2
∫
1
+∞
[*] =e
-2
arctane
x-1
|
1
+∞
=e
-2
[*]e
-2
. (Ⅱ)这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分,可以通过求原函数的方法计算. 因为[*],且x≥1,于是有原函数 F(x)=lnx-[*]ln(x
2
+1)=[*] 从而 [*] (Ⅲ) [*] (Ⅳ)这是一个无界函数的反常积分,其瑕点为a,由于被积函数中含有根式,应通过变量替换将根式去掉.注意被积函数可改写为[*],即 x=[*](1+sint),代入即得 [*]
解析
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考研数学二
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