设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠E，则必有 ( )

admin2019-08-11 27

问题设A是3阶非零矩阵，满足A²=A，且A≠E，则必有 ( )

选项 A、r(A)=1．
B、r(A－E)=2．
C、[r(A)－1][r(A－E)－2]=0．
D、[r(A)－1][r(A－E)－1]=0．

答案D

解析 A是3阶非零矩阵，则A≠0，r(A)≥1．
A≠E，A－E≠0．r(A－E)≥1，
因A²=A，即A(A－E)=0，得r(A)+r(A—E)≤3，且
1≤r(A)≤2，1≤r(A－E)≤2．
故矩阵A和A－E的秩r(A)和r(A－E)或者都是1，或者一个是1，另一个是2(不会是3，也不会是0，也不可能两个都是2．故两个中至少有一个的秩为1)．
故(A)、(B)、(C)均是错误的，应选(D)．

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