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已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数
已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数
admin
2019-05-16
46
问题
已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x
2
+y
2
+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数
选项
答案
因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大,且最大方向导数是该点梯度向量的长度,而 gradf(x,y)=(1+y,1+x),|gradf(x,y)|=[*] 因此,问题转化为求[*]在条件x
2
+y
2
+xy=3下的最大值. 令F(x,y,λ)=(1+x)
2
+(1+y)
2
+λ(x
2
+y
2
+xy一3),由 [*] 解得[*] 又 |gradf(1,1)|=[*] |gradf(一1,一1)|=0, |gradf(2,一1)|=|gradf(一1,2)|=3, 所以f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.
解析
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