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设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )
设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )
admin
2017-01-13
56
问题
设A为n阶矩阵，A
T
是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)A
T
Ax=0，必有( )
选项
A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解。
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解。
答案
A
解析
如果α是(1)的解，有Aα=0，可得A
T
Aα=A
T
(Aa)=A
T
0=0，即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若α是(2)的解，有A
T
Aα=0，用α
T
左乘可得0=α
T
0=α
T
(A
T
Aα)=(α
T
A
T
)(Aα)=(Aα)
T
(Aα)，若设Aa=(b
1
，b
2
，…，b
m
)，那么(Aα)
T
(Aα)=b
1
+b
2
2
+…+b
n
2
=0,b
i
=0(i=1，2，…，n)，即Aα=0，说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以应选A。
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考研数学二
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