2. 考研
  3. 已知A是3阶实对称矩阵．满足A4+2A3+A2+2A=0，且秩r(A)=2．求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

已知A是3阶实对称矩阵．满足A4+2A3+A2+2A=0，且秩r(A)=2．求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

admin2019-01-23  46
问题 已知A是3阶实对称矩阵．满足A4+2A3+A2+2A=0，且秩r(A)=2．求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．
选项
答案设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα(α≠0)，于是 Anα=λnα． 那么用α右乘A4+2A3+A2+2A=0得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0． 因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ3+2λ2+λ+2)=λ(λ+2)(λ2+1)=0． 由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2． 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以A的特征值是0，一2，一2． 因A～[*]+E=[*]，所以秩r(A+E)=r([*]+E)=3．
解析
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考研数学一

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