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已知A是3阶实对称矩阵.满足A4+2A3+A2+2A=0,且秩r(A)=2.求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E).
已知A是3阶实对称矩阵.满足A4+2A3+A2+2A=0,且秩r(A)=2.求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E).
admin
2019-01-23
47
问题
已知A是3阶实对称矩阵.满足A
4
+2A
3
+A
2
+2A=0,且秩r(A)=2.求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E).
选项
答案
设λ是矩阵A的任一特征值,α是属于特征值λ的特征向量,则Aα=λα(α≠0),于是 A
n
α=λ
n
α. 那么用α右乘A
4
+2A
3
+A
2
+2A=0得(λ
4
+2λ
3
+λ
2
+2λ)α=0. 因为特征向量α≠0,故λ
4
+2λ
3
+λ
2
+2λ=λ(λ
3
+2λ
2
+λ+2)=λ(λ+2)(λ
2
+1)=0. 由于实对称矩阵的特征值必是实数,从而矩阵A的特征值是0或一2. 由于实对称矩阵必可相似对角化,且秩r(A)=r(A)=2,所以A的特征值是0,一2,一2. 因A~[*]+E=[*],所以秩r(A+E)=r([*]+E)=3.
解析
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考研数学一
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