设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1．α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1+α2)=α2．求AX=α2的通解．

admin2016-05-17 39

问题设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ₁=0，λ₂=λ₃=1．α₁，α₂为A的两个不同特征向量，且A(α₁+α₂)=α₂．
求AX=α₂的通解．

选项

答案因为A相似于 [*] ，所以r(A)=2，方程组AX=0基础解系含一个线性无关的解向量．若α₁是属于特征值1的特征向量，α₂为属于特征值0的特征向量，此时A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=α₁≠α₂，矛盾，从而α₁是属于特征值0的特征向量，α₂是属于特征值1的特征向量，由Aα₁=0，Aα₂=α₂得AX=α₂的通解为X=kα₁+α₂．

解析

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