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已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2一4x1x3一8x2x3，用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．
已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2一4x1x3一8x2x3，用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．
admin
2016-07-11
68
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+5x
2
2
+5x
3
2
+4x
1
x
2
一4x
1
x
3
一8x
2
x
3
，用正交变换化f(x
1
，x
2
，x
3
)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．
选项
答案
f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+5x
2
2
+5x
3
2
+4x
1
x
2
—4x
1
x
3
—8x
2
x
3
， [*] A的特征多项式φ(λ)=(λ一1)
2
(λ一10)， 于是得到A的特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=10． 对于特征值λ
1
=λ
2
=1，由方程组(E—A)x=0，得到属于特征值λ
1
=λ
2
=1的两个正交的特征向量为 [*] 对于特征值λ
3
=10，由方程组(10E—A)x=0，得到属于特征值λ
3
=10的特征向量为 [*] 于是作正交变换x=Qy，则有f=y
1
2
+y
2
2
+10y
3
2
．
解析
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本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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