2. 考研
  3. 设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．

设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2021-11-09  39
问题 设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案设存在数k1，k2，…，kn，使得 k1α1+k2α2+…+knαn=0． 上式两端左边乘αiTA-1，由αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，可得 kiαiTA-1αi=0(i=1，2，…，n)． 因A为正定矩阵，则A-1也为正定矩阵，且αi≠0，故αiTA-1αi>0．于是，ki=0(i=1，2，…，n)．所以向量组α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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考研数学二

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