设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2021-01-19 21

问题设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关。
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关。
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关。
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关。

答案A

解析方法一：记B=(α₁，α₂，…，α_s)，则(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=AB。
若向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关，则r(B)＜s，从而r(AB)≤r(B)＜s，向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s也线性相关，故应选A。
方法二：若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在不全为零的数是k₁，k₂，…，k_s使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0。
用A左乘等式两边，得
k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0， (1)
于是存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s使得(1)成立，所以Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关。

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考研数学二

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