2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(A)=f(B)=0，且f’(A)f’(B)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一点η∈(a，b)，使得f’’(η)=0．

设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(A)=f(B)=0，且f’(A)f’(B)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一点η∈(a，b)，使得f’’(η)=0．

admin2016-12-09  0
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(A)=f(B)=0，且f’(A)f’(B)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一点η∈(a，b)，使得f’’(η)=0．
选项
答案由f’(A)f’(B)＞0，不妨设f’(A)＞0，且f’(B)＞0．由导数定义知[*]因此存在δ1＞0，使得当x∈(a，a+δ1)时，有[*] 因为x＞a，故有f(x)＞f(A)， 即 f(x)＞0， x∈(a，a+δ1)． 又由于[*]故存在δ2＞0，使得当x∈(b一δ2，b)时，有[*]因为x＜b，所以f(x)＜f(B)，即f(x)＜0，x∈(b—δ2，v)．取δ1，δ2充分小，使a+δ1＜b一δ2．再取两点x1∈(a，a+δ1)，x2∈(b一δ2，b)，考虑区间[x1，x2]．显然f(x)在[x1，x2]上连续，且f(x1)＞0，f(x2)＜0． 因此由连续函数介值定理知，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，从而ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0． 再由f(A)=f(ξ)=f(B)及罗尔定理知，至少存在η1∈(a，ξ)和η2∈(ξ，b)，使得f(η1)=f’(η2)=0．又在区间[η1，η2]上应用罗尔定理，便知至少存在η∈(η1，η2)c(a，b)，使得f’’(η)=0．
解析
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考研数学二

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