2. 考研
  3. [2006年] 四维向量组α1 =[1+a，1，1，1]，α2 =[2，2+a，2，2]，α3 =[3，3，a+3，3]， α4 =[4，4，4，4+a]．问a为什么数时，α1，α2，α3 ，α4 线性相关?在α1，α2，α3 ，α4 线性相关时求其一个

[2006年] 四维向量组α1 =[1+a，1，1，1]，α2 =[2，2+a，2，2]，α3 =[3，3，a+3，3]， α4 =[4，4，4，4+a]．问a为什么数时，α1，α2，α3 ，α4 线性相关?在α1，α2，α3 ，α4 线性相关时求其一个

admin2019-05-10  49
问题 [2006年]  四维向量组α1 =[1+a，1，1，1]，α2 =[2，2+a，2，2]，α3 =[3，3，a+3，3]，
α4 =[4，4，4，4+a]．问a为什么数时，α1，α2，α3 ，α4 线性相关?在α1，α2，α3 ，α4 线性相关时求其一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．
选项
答案(1)由∣α1，α2，α3 ，α4 ∣=0即可求出a；(2)将所求的a值代入(α1，α2，α3 ，α4 )中并用初等行交换化为行最简形． α1，α2，α3 ，α4 线性相关，即行列式∣α1，α2，α3 ，α4 ∣=0，而∣α1，α2，α3 ，α4 ∣=a3(a+10)， 于是当a=0或一10时，α1，α2，α3 ，α4 线性相关． 当a=0时，α1是α1，α2，α3 ，α4 的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当a=一10时，用初等行变换求其极大无关组． [α1T，α2T，α3T，α4T]=[*] =[β1，β2，β3 ，β4 ]． 显然β1，β2，β3 为β1，β2，β3 ，β4 的一个极大线性无关组，且β4=一β1一β2一β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3 是α1，α2，α3 ，α4 的一个极大无关组，且α4=一α1一α2一α3．
解析
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考研数学二

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