2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A＝αβT； (Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A＝αβT； (Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2022-01-06  50
问题 设A是n阶矩阵，证明：
(Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A＝αβT；
(Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
选项
答案(Ⅰ)若r(A)＝1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 [*] 显然α，β都不是零向量且A＝αβT； 反之，若A＝αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)＝r(αβT)≤r(a)＝1，又因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)＝1． (Ⅱ)因为r(A)＝1，所以存在非零列向量α，β，使得A＝αβT显然tr(A)＝(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)＝k≠0． 令AX＝λX，因为A2＝kA，所以λ2X＝kλX，或(λ2－Kλ)X＝0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或λ＝k． 因为λ1＋λ2＋…λn＝tr(A)＝k，所以λ1＝k，λ2＝λ3＝…＝λn＝0，由r(OE－A)＝r(A)＝1，得A一定可以对角化.
解析
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考研数学二

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