首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是n阶矩阵,证明: (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
设A是n阶矩阵,证明: (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
admin
2022-01-06
51
问题
设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβ
T
;
(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
选项
答案
(Ⅰ)若r(A)=1,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例,即 [*] 显然α,β都不是零向量且A=αβ
T
; 反之,若A=αβ
T
,其中α,β都是n维非零列向量,则r(A)=r(αβ
T
)≤r(a)=1,又因为α,β为非零向量,所以A为非零矩阵,从而r(A)≥1,于是r(A)=1. (Ⅱ)因为r(A)=1,所以存在非零列向量α,β,使得A=αβ
T
显然tr(A)=(α,β),因为tr(A)≠0,所以(α,β)=k≠0. 令AX=λX,因为A
2
=kA,所以λ
2
X=kλX,或(λ
2
-Kλ)X=0,注意到X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ
1
+λ
2
+…λ
n
=tr(A)=k,所以λ
1
=k,λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0,由r(OE-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/esf4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
二元函数f(x,y)=在(0,0)处()
设函数f(χ)满足关系f〞(χ)+f′2(χ)=χ,且f′(0)=0,则().
下列广义积分发散的是().
已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定,矩阵A=(aij)3×3,则()
设平面区域D:1≤x2+y2≤4,f(x,y)是区域D上的连续函数,则等于().
设A为n阶矩阵,下列结论正确的是().
设其中与对角矩阵相似的有()
设函数y=y(x)由参数方程确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是()
设φ1(x),φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为().
随机试题
探索性研究的主要内容通常包括()
A.溶血性链球菌B.厌氧性细菌C.两者均可D.两者均不可急性蜂窝织炎的致病菌为
症见干咳,痰少而稠,口干咽燥,五心烦热,盗汗,舌红少津脉细数,属于
某国甲公司与中国乙公司订立买卖合同,概括性地约定有关争议由“中国贸仲”仲裁,也可以向法院起诉。后双方因违约责任产生争议。关于该争议的解决,依我国相关法律规定,下列哪一选项是正确的?(2009年试卷一第38题)
某瞬时若平面图形上各点的加速度方向都指向同一点,则可知此瞬时平面图形的角速度ω和角加速度a为()。[2012年真题]
单个分项工程计算顺序不正确的有()。
2020年1月1日,甲公司取得乙公司30%的股权,对乙公司具有重大影响,采用权益法核算。投资当日乙公司除一批存货A的账面价值为800万元、公允价值为1000万元外,其他项目的账面价值与公允价值均相等,截至2020年年底,乙公司所持存货A的60%已对外销售。
“两高”产品指的是()。
当前,“微信付款”已经成为一种比较流行的支付方式,下列说法正确的是:
SQL语言用GRANT语句向用户授予访问数据的______。
最新回复
(
0
)