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设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5),则在(0,5)内方程f’’(x)=0有_______个实根.
设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5),则在(0,5)内方程f’’(x)=0有_______个实根.
admin
2017-09-28
40
问题
设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5),则在(0,5)内方程f’’(x)=0有_______个实根.
选项
答案
3
解析
用罗尔定理研究方程f’(x)=0,f’’(x)=0根的存在性.
由于f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)在[0,1],[1,2],[2,3],[3,5]上连续,在(0,1),(1,2),(2,3),(3,5)内可导,且
f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=0,
所以由罗尔定理可知,存在ξ
1
∈(0,1),ξ
2
∈(1,2),ξ
3
∈(2,3),ξ
4
∈(3,5),使得
f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=f’(ξ
3
)=f’(ξ
4
)=0.
又由于f’(x)为四次多项式,它在[ξ
1
,ξ
2
],[ξ
2
,ξ
3
],[ξ
3
,ξ
4
]上满足罗尔定理条件,所以存在η
1
∈(ξ
1
,ξ
2
),η
2
∈(ξ
2
,ξ
3
),η
3
∈(ξ
3
,ξ
4
),使得
f’’(η
1
)=f’’(η
2
)=f’’(η
3
)=0,
故f’’(x)=0在(0,5)内至少有三个实根.
由于f’’(x)为三次多项式,它最多有三个根,所以在区间(0,5)内,方程f’’(x)=0有三个实根η
1
,η
2
,η
3
.
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考研数学一
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