设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

admin2013-09-03 116

问题设A，B为同阶方阵，
  (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
  (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立．
  (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P^-1AP｜=｜P^-1λEP-P^-1AP｜=｜P^-1(λE-A)P｜= ｜P^-1｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜． (Ⅱ)令A=[*]，那么｜λE-A｜=λ=｜λ²=E-B｜．但A，B不相似，否则，存在否逆矩阵P，使P^-1AP=B=0．从而A=P0P^-1=0，矛盾，亦可从r(A)=1，r(B)=0而知A与B不相似． (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ₁，…，λ₁，则有A相似于[*] 即存在可逆矩阵P，Q使P^-1AP=[*] 于是(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)=B．由PQ^-1为可逆矩阵知，A与B相似．

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

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