2. 考研
  3. 设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的，即U=xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α+β=1。 (1)求该消费者关于商品x和品y的需求函数。 (2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例

设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的，即U=xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α+β=1。 (1)求该消费者关于商品x和品y的需求函数。 (2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例

admin2017-07-23  45
问题 设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的，即U=xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α+β=1。
(1)求该消费者关于商品x和品y的需求函数。  
(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
选项
答案(1)由消费者的效用函数U=xαyβ，算得： [*] 消费者的预算约束方程为Pxx+Pyy=M ① 根据消费者效用最大化的均衡条件 [*] 解方程组③，可得 x=αM/Px ④ y=βM/Py ⑤ 式④、⑤即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 (2)商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为 λPxx+λPyy=λM ⑥ 其中λ为非零常数。 此时消费者效用最大化的均衡条件变为 [*] 由于λ≠0，故方程组⑦化为 [*] 显然，方程组⑧就是方程组③，故其解就是式④和式⑤。 这表明，消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。 (3)由消费者的需求函数④和⑤，可得 α=Pxx/M ⑨ β=Pyy/M ⑩ 关系⑨的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额，关系⑩的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。
解析
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