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设A是三阶非零矩阵,满足A2=0,则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( ).
设A是三阶非零矩阵,满足A2=0,则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( ).
admin
2016-11-03
44
问题
设A是三阶非零矩阵,满足A
2
=0,则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( ).
选项
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案
C
解析
利用下述结论求之.
设AX=0的基础解系为α
1
,α
2
,…,α
n-r
;β为AX=b的一特解,则AX=b共有n-r+1个线性无关的解向量,且β,α
1
,α
2
,…,α
n-r
就是AX=b的n一r+1个线性无关的解.
先求r(A).因A
2
=A.A=O,故
r(A)+r(A)=2r(A)≤3,
即 r(A)≤3/2, 亦即 r(A)≤1.
又 A≠O, r(A)≥1,
故 r(A)=1,
从而n-r+1=3-r(A)+1=3-1+1=3,
即AX=b有3个线性无关的解向量.仅(C)入选.
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考研数学一
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