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设有一小山,取它的底面所在的平面为xDy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75—x2—y2+xy。 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,
设有一小山,取它的底面所在的平面为xDy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75—x2—y2+xy。 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,
admin
2018-12-29
42
问题
设有一小山,取它的底面所在的平面为xDy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x
2
+y
2
一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75—x
2
—y
2
+xy。
现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,要在D的边界线x
2
+y
2
—xy=75上找出使上小题中g(x,y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
选项
答案
求g(x,y)在条件x
2
+y
2
—xy—75=0下的最大值点等价于g
2
(x,y)=(y—2x)
2
+(x—2y)
2
=5x
2
+5y
2
—8xy在条件x
2
+y
2
—xy—75=0下的最大值点。构造拉格朗日函数 L(x,y,λ) =5x
2
+5y
2
—8xy+λ(x
2
+y
2
—xy—75), 则有 [*] 联立(1),(2)解得y= —x,λ= —6或y=x,λ= —2。 若y= —x,则由(3)式得3x
2
=75,即x=±5,y=±5。 若y=x,则由(3)式得x
2
=75,即[*]。 于是得可能的极值点 M
1
(5,—5),M
2
(—5,5),[*]。 现比较f(x,y)=g
2
(x,y)=5x
2
+5y
2
—8xy在这些点的函数值,有 f(M
1
)=f(M
2
)=450,f(M
3
)=f(M
4
)=150。 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M
1
,M
2
,M
3
,M
4
中取到。所以g
2
(x,y)在M
1
, M
2
取得边界线D上的最大值,即M
1
,M
2
可作为攀登的起点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fUM4777K
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考研数学一
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