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  3. 已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C＞0，AC—B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C＞0，AC—B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

admin2018-11-21  49
问题 已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1  (C＞0，AC—B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．
选项
答案椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2一1=0． 令F(x，y，λ)=x2+y2一A(Ax2+2Bxy+Cy2一1)，解方程组 [*] 将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得 [(1一Aλ)x2一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y2]=0， 即 x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ， 于是可得d=[*]． 从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F’x=0，F’y=0有非零解，其系数行列式应为零，即 [*] 该方程一定有两个根λ1，λ2，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为 [*]
解析 只需求椭圆的半长轴a与半短轴b，它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值．因此，归结为求解条件极值问题．
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考研数学一

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