设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3． (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2； (Ⅱ)求常数a，b的值及通解．

admin2017-03-06 32

问题设非齐次线性方程组

有三个线性无关解α₁，α₂，α₃．
(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2；
(Ⅱ)求常数a，b的值及通解．

选项

答案(Ⅰ)令r(A)＝r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2． α₁－α₂，α₁－α₃为对应的齐次线性方程组的两个解．令k₁(α₁－α₂)＋k₂(α₁－α₃)＝0，即(k₁＋k₂)α₁－k₁α₂－k₂α₃＝0．因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以k₁＝k₂＝0，即α₁－α₂，α₁－α₃线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)＝2． [*] 因为r(A)＝r([*])＝2，所以 [*] 解得a＝2，b＝－3，于是 [*] 通解为X＝[*]

解析

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考研数学二

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