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设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,k为正整数,求证:存在一点ξ∈(0,1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ).
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,k为正整数,求证:存在一点ξ∈(0,1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ).
admin
2019-03-07
28
问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,k为正整数,求证:存在一点ξ∈(0,1)使得ξf
’
(ξ)+kf(ξ)=f
’
(ξ).
选项
答案
xf
’
(x)+kf(x)=f
’
(x),整理得,(x一1)f
’
(x)=一kf(x), 分离变量得[*],两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C
1
, 整理得lnf(x)(1一x)
k
=C
1
,即f(x)(1一x)
k
=C, 所以设F(x)=f(x)(1一x)
k
,F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导, 又F(0)=0,F(1)=0,则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理, 故存在一点ξ∈(0,1),使得F
’
(ξ)=0,即ξf
’
(ξ)+kf(ξ)=f
’
(ξ).
解析
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本试题收录于:
高等数学二题库成考专升本分类
0
高等数学二
成考专升本
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