证明：方程｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx＝0在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．

admin2021-11-09 52

问题证明：方程｜x｜^1／4＋｜x｜^1／2－1／2cosx＝0在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．

选项

答案证：由于｜x｜^1／4＋｜x｜^1／2－1／2cosx为偶函数，只要证明所给方程在(x，＋∞)仅有一个实根即可．设F(x)＝x^1／4＋x^1／2－1／2cosx．先证根的存在性．因F(0)＝－1／2＜0，可知x＝0不是方程F(x)＝0的根，又因lim F(x)＝＋∞，故存在一点x。＞0，使得F(x。)＞0，例如，取x。＝1，便有F(1)＝1＋1－1／2＞0，于是，由零点定理，在区间(0，1)内F(x)＝0至少存在一个根．注意到当x＞1时，F(x)恒大于0，故在区间(1，＋∞)内方程F(x)＝0不可能有根．再证根的唯一性．因为0＜x＜1＜π／2时，函数x^1／4、x^1／2，－cosx都是单调增加的，所以F(x)在(0，1)内单调增加，从而F(x)＝0在(0，1)内仅有一个实根．综上，又因为｜x｜^1／4＋｜x｜^1／2－1／2cosx为偶函数，即所给方程在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．

解析

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考研数学二

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