2. 考研
  3. [20l5年] 已知函数f(x)在区间[a，+∞]上具有2阶导数，f(a)=0，f′(x)＞0，f″(0)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明 a＜x0＜b．

[20l5年] 已知函数f(x)在区间[a，+∞]上具有2阶导数，f(a)=0，f′(x)＞0，f″(0)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明 a＜x0＜b．

admin2019-04-05  135
问题 [20l5年]  已知函数f(x)在区间[a，+∞]上具有2阶导数，f(a)=0，f′(x)＞0，f″(0)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明
a＜x0＜b．
选项
答案利用导数性质及拉格朗El中值定理证之． 为方便计，假设y=f(x)满足f′(x)＞0,f″(x)＞0且f(a)=0．y=f(x)在点(b，f(b))处的切线方程为y一f(b)=f′(b)(x－b)，该切线与x轴的交点为 (x0，0)=(b一[*]，0)． 下证x0=b一[*]＜b．因f′(x)＞0，故f′(b)＞0，且由f(x)单调增加，有f(b)＞f(a)=0，从而[*]＞0，故b一[*]＜b，即x0＜b． 下证x0＞a，即证b一[*]＞a，亦即证明(b一a)f′(b)＞f(b)．由左端易想到使用拉格朗日中值定理：因f(x)可导，由该定理得到 f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)，ξ∈(a，b)． 因f(a)=0，即f(b)=f′(ξ)(b一a)．又因f″(x)＞0，f′(x)单调增加，故f′(ξ)＜f′(b)，所以f(b)=f′(ξ)(b一a)＜f′(b)(b一a)，所以b—a＞[*]，即x0=a一[*]＞a． 综上得到a＜x0＜b．
解析
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考研数学二

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