2. 考研
  3. 设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．

admin2019-03-21  48
问题 设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．
选项
答案令φ(χ)＝∫aχf(t)dt∫bχg(t)dt，显然φ(χ)在[a，b]上可导，又φ(a)＝φ(b)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f(χ)∫bχg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt， 所以f(ξ)∫bξg(χ)dχ＋g(ξ)∫aξf(χ)dχ＝0，即f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．
解析
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考研数学二

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