(1999年试题，八)设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f’’(ξ)=3．

admin2019-06-09 79

问题 (1999年试题，八)设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0,f(1)=1,f^’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f^’’(ξ)=3．

选项

答案由题设f(x)具有三阶连续导数，且f^’(0)=0，则由麦克劳林公式得其中η介于0与x之间，且x∈[-1，1]．在上式中分别令x=一1和x=1，并由已知条件f(一1)=0,f(1)=1，f^’(0)=0，得[*][*]两式相减，得f^’’(η₁)+f^’’(η₂)=6由已知f^’’(x)连续，则在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有[*]则由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂]c(一1，1)，使[*]

解析在泰勒展开式中一般取x^’为一阶导数值是已知的点(例如f^’(x₀)=1)或隐含已知的点，比如极值点，最值点等，ξ的选取在x₀与x之间，一般还随着x的变化而变化．

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考研数学二

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(1999年试题，八)设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f’’(ξ)=3．

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