2. 考研
  3. 以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=。

以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=。

admin2019-06-29  104
问题 以下四个命题，正确的个数为(     )
①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0。
②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=。
③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，则∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散。
④若∫-∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫-∞+∞f(x)dx未必发散。
选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。
答案A
解析 ∫-∞+∞f(x)dx收敛存在常数a，使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时
    ∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。
设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且。但是
∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=-∞，∫0+∞f(x)dx=∫-∞+∞xdx=+∞，
故∫-∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。
设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，
但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。
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考研数学二

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