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(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )
(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )
admin
2018-03-11
50
问题
(1998年)函数f(x)=(x
2
一x一2)|x
3
一x|不可导点的个数是( )
选项
A、3
B、2
C、1
D、0
答案
B
解析
方法一:当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“端点”,因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x
2
一x一2)|x||x
2
一1|,当x≠0,±1时f(x)可导,因而只需在x=0,±1处考虑f(x)是否可导。在这些点我们分别考虑其左、右导数。由
即f(x)在x=一1处可导。又
所以f(x)在x=0处不可导。
类似,函数f(x)在x=1处亦不可导。因此f(x)只有两个不可导点,故应选B。
方法二:利用下列结论进行判断:
设函数f(x)=|x一a|φ(x),其中φ(x)在x=a处连续,则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论:
由导数的定义可知:
其中
可见,f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a),也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点:
首先,绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点,也就是说f(x)=(x
2
一x一2)|x
3
一x|只有可能在使得|x
3
一x|=0的点处不可导,也即x=一1,x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论:
对x=一1,将f(x)写成f(x)=(x
2
一x一2)|x
2
一x||x+1|,由于(x
2
一x-2)|x
2
一x|在x
=一1处为零,可知f(x)在x=一1处可导。
对x=0,将f(x)写成f(x)=(x
2
一x一2)|x
2
一1||x|,由于(x
2
一x一2)|x
2
一1|在x=0处不为零,可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1,将f(x)写成f(x)=(x
2
一x一2)|x
2
+x||x+1|,由于(x
2
一x一2)|x
2
+x|在x=1处不为零,可知f(x)在x=1处不可导。
因此f(x)有两个不可导点,故应选B。
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