(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )

admin2018-03-11 47

问题 (1998年)函数f(x)=(x²一x一2)|x³一x|不可导点的个数是( )

选项 A、3
B、2
C、1
D、0

答案B

解析方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“端点”，因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x²一x一2)|x||x²一1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考虑f(x)是否可导。在这些点我们分别考虑其左、右导数。由

即f(x)在x=一1处可导。又

所以f(x)在x=0处不可导。
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。
方法二：利用下列结论进行判断：
设函数f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论：
由导数的定义可知：

其中

可见，f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a)，也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：
首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，也就是说f(x)=(x²一x一2)|x³一x|只有可能在使得|x³一x|=0的点处不可导，也即x=一1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论：
对x=一1，将f(x)写成f(x)=(x²一x一2)|x²一x||x+1|，由于(x²一x-2)|x²一x|在x
=一1处为零，可知f(x)在x=一1处可导。
对x=0，将f(x)写成f(x)=(x²一x一2)|x²一1||x|，由于(x²一x一2)|x²一1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1，将f(x)写成f(x)=(x²一x一2)|x²+x||x+1|，由于(x²一x一2)|x²+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。
因此f(x)有两个不可导点，故应选B。

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