已知以2，π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)= (sinx－1)2f(x)，证明使得F"(x0)=0．

admin2019-06-28 61

问题已知以2，π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)= (sinx－1)²f(x)，证明

使得F"(x₀)=0．

选项

答案显然F(0)=[*]=0，于是由罗尔定理知，[*]，使得F’(x₁)=0．又 F’(x)=2(sinx－1)f(x)+(sinx－1)²f’(x)， [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x₀^*∈[*]，使得F"(x₀^*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]，使得 F"(x₀)=F"(x₀^*)=0．

解析

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