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设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)m×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)= (1)记x=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并说明二次型f(x)的
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)m×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)= (1)记x=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并说明二次型f(x)的
admin
2016-07-11
51
问题
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
m×n
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
(1)记x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,把f(x
1
,x
2
,…,x
n
)写成矩阵形式,并说明二次型f(x)的矩阵为A
-1
;
(2)二次型g(x)=x
T
Ax与f(x)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
[*] 因为r(A)=n,知A可逆,又因A是实对称的,有(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
, 可知[*]是实对称矩阵,于是A*是对称的,故二次型f(x)的矩阵是A
-1
. (2)经坐标变换x=A
-1
y,有 g(x)=x
T
Ax=(A
-1
y)
T
A(A
-1
y)=y
T
(A
-1
)
T
y=y
T
A
-1
y=f(y). 即g(x)与f(x)有相同的规范形.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
公共课
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