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两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______,它们的二面角的平分面方程为______
两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______,它们的二面角的平分面方程为______
admin
2017-12-11
32
问题
两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______,它们的二面角的平分面方程为______
选项
答案
[*];x+y-4z-1=0及x-y-3=0
解析
x-2y+2z-4=0的法向量可写为n
1
=(1,-2,2),2x-y-2z-5=0的法向量n
2
=(2,-1,-2).
求二面角的角平分面方程的方法有多种.
方法一 用平面束方程:
x-2y+2z-4+λ(2x-y-2z-5)=0,
即(2λ+1)z-(λ+2)y+(2-2λ)z-4-5λ=0.
它与平面x-2y+2z-4=0的二面角等于它与平面2x-y-2z-5=0的二面角.由夹角公式可得
|2λ+1+2(2+λ)+2(2-2λ)|=|2(2λ+1)+(2+λ)-2(2-2λ)|,
即9=|9λ|,所以λ=±1,相应的两个平面如上所填.
方法二 设点P(x,y,z)为要求的平分面上任意一点,则该点到两平面的距离相等,即
即
x-2y+2z-4=±(2x-y-2z-5),
化简即得如上所填.
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考研数学一
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